Sobre una solución exacta no lineal de la ecuación Fokker-Planck con término de sumidero Translated title: On an exact solution of the non-linear Fokker-Planck equation with sink term

Abstract

Se resuelve de manera exacta la ecuación Fokker-Planck con un término de sumidero, utilizando la difusividad de Fujita y la relación de Parlange entre la conductividad y difusividad. Para obtener la solución, se introduce primero el potencial de Kirchhoff y enseguida la coordenada móvil de Fujita-Storm; la ecuación diferencial toma la forma de la ecuación de Burgers, que es lineal en el término difusivo. El coeficiente convectivo de esta última se sustituye por la transformación de Hopf-Cole, con la finalidad de deducir la ecuación lineal clásica del calor. Durante las transformaciones, el término de sumidero se define funcionalmente, de modo que el resultado final sea precisamente la ecuación de calor sin término de sumidero. La solución exacta del potencial de Hopf-Cole se obtiene con la transformada clásica de Laplace para algunas condiciones iniciales y de frontera de interés. La solución de la ecuación Fokker-Planck en el espacio físico se obtiene a través de la inversión de las transformaciones utilizadas. La solución incluye como casos particulares las soluciones de Sanders et al., y de Broadbridge y White. La solución exacta puede ser utilizada para validar soluciones numéricas de la ecuación Fokker-Planck y en estudios sobre la extracción de agua por las raíces de las plantas.

Translated abstract

The Fokker-Planck equation with a sink term is resolved exactly, using the Fujita diffusivity and Parlange relationship between conductivity and diffusivity. In order to obtain the solution, the Kirchhoff potential and the Fujita-Storm mobile coordinate are introduced. The differential equation takes the form of the Burgers equation, which is linear in the diffusive term. The convective coefficient of the latter is replaced by the Hopf-Cole transformation for the purpose of deriving the classical linear heat equation. During the transformation, the sink term is defined functionally, so that the end result is precisely the heat equation without sink term. The exact solution of the Hopf-Cole potential is deduced by using the classical Laplace transform for certain initial and boundary conditions of interest. The solution of the Fokker-Planck equation in the physical space is obtained through the inverse transformations. The solution includes as particular cases both the Sanders et al. and Broadbridge and White solutions. The exact solution can be used to validate numerical solutions of the Fokker-Planck equation and in studies on water extraction by plant roots.