Characterization of Upper Detour Monophonic Domination Number

Abstract

Abstract This paper introduces the concept of upper detour monophonic domination number of a graph. For a connected graph G with vertex set V (G), a set M ⊆ V (G) is called minimal detour monophonic dominating set, if no proper subset of M is a detour monophonic dominating set. The maximum cardinality among all minimal monophonic dominating sets is called upper detour monophonic domination number and is denoted by γ+ dm (G). For any two positive integers p and q with 2 ≤ p ≤ q there is a connected graph G with γm (G) = γdm (G) = p and γ+ dm (G) = q. For any three positive integers p, q, r with 2 < p < q < r, there is a connected graph G with m(G) = p, γdm (G) = q and γ+ dm (G) = r. Let p and q be two positive integers with 2 < p < q such that γdm (G) = p and γ+ dm (G) = q. Then there is a minimal DMD set whose cardinality lies between p and q. Let p, q and r be any three positive integers with 2 ≤ p ≤ q ≤ r. Then, there exist a connected graph G such that γm (G)= p, γ+ dm (G) = q and |V (G)| = r.

Translated abstract

Resumen Este artículo introduce el concepto de número de dominación de desvío monofónico superior de un grafo. Para un grafo conexo G con conjunto de vértices V (G), un conjunto M ⊆ V (G) se llama conjunto dominante de desvío monofónico minimal, si ningún subconjunto propio de M es un conjunto dominante de desvío monofónico. La cardinalidad máxima entre todos los conjuntos dominantes de desvío monofónico minimales se llama número de dominación de desvío monofónico superior y se denota por γ+ dm (G). Para cualquier par de enteros positivos p y q con 2 ≤ p ≤ q existe un grafo conexo G con γm (G) = γdm (G) = p y γ+ dm (G) = q. Para cualquiera tres enteros positivos p, q, r con 2 < p < q < r, existe un grafo conexo G con γm (G) = p, γdm (G) = q y γ+ dm (G) = r. Sean p y q dos enteros positivos con 2 < p < q tales que γdm (G) = p y γ+ dm (G) = q. Entonces existe un conjunto DMD mínimo cuya cardinalidad se encuentra entre p y q. Sean p, q y r tres enteros positivos cualquiera con 2 ≤ p ≤ q ≤ r. Entonces existe un grafo conexo G tal que γdm (G) = p, γ+ dm (G) = q y |V (G)| = r.