Perte d'information dans les transformations du jeu de pile ou face

Abstract

Soit \((\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) un jeu de pile ou face, c'est-\`{a}-dire une suite de variables al\'{e}atoires ind\'{e}pendantes de loi \((\delta_{-1}+\delta_1)/2\), et \((H_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) un processus \`{a} valeurs dans \(\{-1,1\}\), pr\'{e}visible dans la filtration naturelle de \((\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}\). Alors \((H_n\epsilon_n)_{n\in \mathbf{Z}}\) est encore un jeu de pile ou face, dont la filtration naturelle est contenue dans celle de \((\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}\). Le but de l'article est d'obtenir des conditions pour que ces filtrations soient \'{e}gales et de d\'{e}crire l'\'{e}cart entre ces filtrations lorsqu'elles sont diff\'{e}rentes. Nous nous int\'{e}ressons plus particuli\`{e}rement au cas des transformations homog\`{e}nes, o\`{u} le processus \((H_n\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) est une fonctionnelle de \((\epsilon_n)_{n\in\mathbf{Z}}\) qui commute avec les translations. Nous \'{e}tudions de fa\c{c}on approfondie les transformations homog\`{e}nes de longueur finie, o\`{u} \(H_n\) est de la forme \(\phi(\epsilon_{n-d},...,\epsilon_{n-1})\) avec \(d\in\mathbf {N}\) et \(\phi:\{-1;1\}^d\to\{-1;1\}\) fix\'{e}s.